¿Cómo se podría resolver este problema de superficies?

Question

Determinar los valores de k, para los cuales la intersección del plano x + ky = 1, y el hiperboloide elíptico de 2 hojas y^2 - x^2 - z^2 = 1 es:
a) una elipse y b) una hipérbola.

Answer 1

Mejor respuesta - Elegida por la comunidad

∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß € № % ‰ §
⁻¹ º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
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Hola! March. Despeja "x" de la ecuación del plano:

x = 1 - ky

y reemplaza este valor en la ecuación del hiperboloide:
y² - (1 - ky)² - z² = 1 ⇒
y² - (1 - 2ky + k²y²) - z² = 1 ⇒
y² - 1 + 2ky - k²y² - z² = 1 ⇒

(1 - k²) y² + 2ky - z² = 2 ... ❶

Y analicemos 3 alternativas para "k":
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1º) | k | = 1
En este caso ❶ quedará: "2ky - z² = 2., ecuación que representa a una parábola, por lo que descartamos esta situación.

2º) -1 < k < 1
En este caso será: 1 - k² > 0. Podemos trabajar con ❶ para llegar a una hiperbola:

(1 - k²) y² + 2ky - z² = 2 ⇒
[√(1 - k²) y]² + 2ky - z² = 2 ⇒ [completamos cuadrados] ⇒
{√(1 - k²) y + [k/√(1 - k²)] }² - z² = 2 + [k²/(1 - k²)] ⇒

{√(1 - k²) y + [k/√(1 - k²)] }² - z² = (2 - k²)/(1 - k²) ... ❷
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Vemos en ❷ que la expresión representará una hipérbola siempre que

(2 - k²)/(1 - k²)

sea positivo.

Y ello se cumple en tres casos:

a) -1 < k < +1
b) k > +√2
c) k < -√2

Como dijimos inicialmente estar trabajando en el rango "|k|<1", será éste el rango válido para la hiperbola.
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3º) "k < -1" ó "k > +1"
En este caso, "k² - 1 > 1". Multiplicamos la expresión ❶ por "-1" quedando:

(k² - 1) y² - 2ky + z² = -2

Completamos cuadrados para llegar a una elipse:
[√(k² - 1) y]² - 2ky + z² = -2 ⇒
{√(k² - 1) y - [k/√(k² - 1)] }² + z² = -2 + [k²/(k² - 1)] ⇒

{√(k² - 1) y - [k/√(k² - 1)] }² + z² = (2 - k²)/(k² - 1) ... ❸
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Vemos en ❸ que la expresión representará una elipse siempre que

(2 - k²)/(k² - 1)

sea positivo.

Y ello se cumple cuando:
a) 1 < k < √2
b) -√2 < k -1

Y precisamente éstos serán los intervalos válidos de "k" para la elipse.
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Saludos, Cacho.
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