¿Ayuda con esfera!!!!?

Question

Hola tengo este ejercicio ojalá me puedan ayudar dice así:
Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a los cuatro planos:
x=0,y=0,z=0 y x+y+z-10=0.
Tengo masomenos la idea de como resolverlo pero me dan varias soluciones nose si estoy en lo correcto de antemano agradezco su ayuda :D

Answer 1

Mejor respuesta - Elegida por la comunidad

a ver, la ecuación de una esfera con centro en (a, b, c) y radio r es
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

la intersección con el plano x = 0 tiene una única solución, luego
(0 - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
(y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 - a^2
circunferencia de radio raíz(r^2 - a^2) es un punto
luego r^2 - a^2 = 0
luego a = r

lo mismo vale para la tangencia con y = 0, y con z = 0, luego el centro está en (r, r, r)

la intersección con el plano x + y + z - 10 = 0 está a una distancia r del centro de la circunferencia
d = (r + r + r - 10) / raíz(3) = r
3r - 10 = raíz(3) r
r = 10 / (3 - raíz(3)) = 10 (3 + raíz(3)) / 6 = 5 (1 + raíz(3)/3)

la ecuación es:
(x - (5 + 5 raíz(3)/3))^2 + (y - (5 + 5 raíz(3)/3))^2 + (z - (5 + 5 raíz(3)/3))^2 = (5 + 5 raíz(3)/3))^2