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jose j realizada en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

¿Sub Espacios vectoriales?

Ejercicio: Encuentre dos sub-espacios de un espacio vectorial (cualesquiera) de tal manera que la unión de dichos espacios:

(A) sea un sub-espacio de [V.]

(A.1) pruebe que si W1 y W2 son sub-espacios de un espacio vectorial (cualesquiera) [V], entonces W1 U W2 es un sub-espacio de [V], si solo si W1 es un sub-espacio de W2 ó W2 es un sub-espacio de W1.

1 respuesta

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  • hace 1 década
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    Te equivocaste en (A 1) debería decir si y sólo si W1 es un SUBCONJUNTO de W_2 o W_2 es un SUBCONJUNTO de W_1, no subespacio.

    Primero una parte:

    Si W_1 es un subespacio de W_2 o W_2 es un subespacio de W_1 entonces se sigue trivialmente W_1 U W_2 es un subespacio de V. (Trata de ver porque, no hay mucho que escribir en realidad)

    La parte interesante es la otra dirección: Si W_1 U W_2 es un subespacio de V entonces W_1 está contenido en W_2 o W_2 está contenido en W_1.

    Para probar esto supongamos que W_1 U W_2 es un subespacio de V , y que W_1 NO está contenido en W_2. Probemos entonces que W_2 está contenido en W_1.

    (Aquí use un hecho básica de la lógica matemática: (A o B) es equivalente a (¬A) => B).

    Asi que sea x un elemento de W_2 probemos que x esta en W_1.

    Dado que W_1 no está contenido en W_2 entonces existe un vector y tal que y está en W_1 pero y NO está en W_2. Nota que los elementos x,y están ambos en W_1 U W_2 y por hipótesis se sabe que este último es un subespacio.

    Luego se tiene que:

    x + y es un elemento de W_1 U W_2.

    Pero entonces x + y está en W_1 o x+y está en W_2.

    Afirmamos que NO puede ocurrir que x + y esté en W_2.

    Supongamos para fines de contradicción que x+y está en W_2. Dado que x está en W_2 entonces por ser W_2 un subespacio se tiene:

    (x+y) - x = y está en W_2 es decir y está en W_2, pero esto contradice el hecho que y NO está en W_2.

    Por lo tanto se sigue que x + y está en W_1.

    Pero además se sabe que y está en W_1 luego (x+y)-y = x está en W_1 y acabamos.

    Ahora con (A.1) puedes resolver fácilmente (A).

    Fuente(s): Matemático
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