¿que punto de la hipérbola x*y=4 dista menos del origen?

Question

Pues eso , y muchas gracias

Answer 1

Respuesta favorita

Tenemos un problema de optimización, si consideramos un punto P arbitrario de la hipérbola, será de la forma P(x, 4/x)

Calculamos la distancia de este punto al origen, es decir al punto O(0,0)

D(P, O) = √(x² + (16/x²))

Luego hemos definido una función de x,

D(x) = √(x² + (16/x²))

Y que remos hallar el punto más cercano al origen, es decir el punto que haga que está función sea mínima. Para ello derivamos e igualamos a 0, pero ten en cuenta que el minimo de la raíz será el mínimo del radicando, es decir bastara hallar el mínimo de:

F (x) = x² + (16/x²)

F ’(x) = 2x – (32 /x³) = 0  x⁴ = 16 x =±2

Si derivamos por segunda vez y evaluamos la segunda derivada en estos puntos, aplicaremos que si.

F ‘’(±2) > 0 => MÍNIMOS

F ‘’(±2) < 0 => MÁXIMOS

F’’(x) = 2 +(96/x⁴) > 0 para todo x, luego tenemos dos mínimos;

(2, 2), (-2,-2)

Saludos Ram.

Answer 2

Tomas un punto general de la hipérbola (de la función y = 4/x): P( x | 4/x ).

Calculas la distancia del origen mediante el Pitágoras:

D(x) = √ [x² + (4/x)²]

Para encontrar un extrema de una función con raíz es sufiente examinar sólo el radicando.

d(x) = x² + 16/x²

diferenciado:

d'(x) = 2x - 32/x³

d''(x) = 2 + 96/x⁴ > 0 para todos los valores de x (⇒ mínimo)

tangente al extremo horizontal (pendiente cero) ⇒ x⁴ = 16 ⇒ x ∈ { ± 2 }

Hay dos mínimos: ( 2 | 2 ) y ( -2 | -2 )

Saludo desde Alemania.

Answer 3

http://www.mathway.com/answer.aspx?p=grap?p=xySMB0...

Tomas un punto general de la hipérbola (de la función y = 4/x): P( x | 4/x ).

Calculas la distancia del origen mediante el Pitágoras:

D(x) = √ [x² + (4/x)²]

Para encontrar un extrema de una función con raíz es sufiente examinar sólo el radicando.

d(x) = x² + 16/x²

diferenciado:

d'(x) = 2x - 32/x³

d''(x) = 2 + 96/x⁴ > 0 para todos los valores de x (⇒ mínimo)

tangente al extremo horizontal (pendiente cero) ⇒ x⁴ = 16 ⇒ x ∈ { ± 2 }

Hay dos mínimos: ( 2 | 2 ) y ( -2 | -2 )

Saludo desde Alemania.