¿que punto de la hipérbola x*y=4 dista menos del origen?

Pues eso , y muchas gracias

3 respuestas

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  • ram
    Lv 7
    hace 10 años
    Respuesta favorita

    Tenemos un problema de optimización, si consideramos un punto P arbitrario de la hipérbola, será de la forma P(x, 4/x)

    Calculamos la distancia de este punto al origen, es decir al punto O(0,0)

    D(P, O) = √(x² + (16/x²))

    Luego hemos definido una función de x,

    D(x) = √(x² + (16/x²))

    Y que remos hallar el punto más cercano al origen, es decir el punto que haga que está función sea mínima. Para ello derivamos e igualamos a 0, pero ten en cuenta que el minimo de la raíz será el mínimo del radicando, es decir bastara hallar el mínimo de:

    F (x) = x² + (16/x²)

    F ’(x) = 2x – (32 /x³) = 0  x⁴ = 16 x =±2

    Si derivamos por segunda vez y evaluamos la segunda derivada en estos puntos, aplicaremos que si.

    F ‘’(±2) > 0 => MÍNIMOS

    F ‘’(±2) < 0 => MÁXIMOS

    F’’(x) = 2 +(96/x⁴) > 0 para todo x, luego tenemos dos mínimos;

    (2, 2), (-2,-2)

    Saludos Ram.

  • hace 10 años

    Tomas un punto general de la hipérbola (de la función y = 4/x): P( x | 4/x ).

    Calculas la distancia del origen mediante el Pitágoras:

    D(x) = √ [x² + (4/x)²]

    Para encontrar un extrema de una función con raíz es sufiente examinar sólo el radicando.

    d(x) = x² + 16/x²

    diferenciado:

    d'(x) = 2x - 32/x³

    d''(x) = 2 + 96/x⁴ > 0 para todos los valores de x (⇒ mínimo)

    tangente al extremo horizontal (pendiente cero) ⇒ x⁴ = 16 ⇒ x ∈ { ± 2 }

    Hay dos mínimos: ( 2 | 2 ) y ( -2 | -2 )

    Saludo desde Alemania.

  • Anónimo
    hace 10 años

    http://www.mathway.com/answer.aspx?p=grap?p=xySMB0...

    Tomas un punto general de la hipérbola (de la función y = 4/x): P( x | 4/x ).

    Calculas la distancia del origen mediante el Pitágoras:

    D(x) = √ [x² + (4/x)²]

    Para encontrar un extrema de una función con raíz es sufiente examinar sólo el radicando.

    d(x) = x² + 16/x²

    diferenciado:

    d'(x) = 2x - 32/x³

    d''(x) = 2 + 96/x⁴ > 0 para todos los valores de x (⇒ mínimo)

    tangente al extremo horizontal (pendiente cero) ⇒ x⁴ = 16 ⇒ x ∈ { ± 2 }

    Hay dos mínimos: ( 2 | 2 ) y ( -2 | -2 )

    Saludo desde Alemania.

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