¿Ayuda con estas integrales (partes o sustitución)?

Alguien me puede ayudar con estas integrales, por lo menos decirme si son por sustitución o por partes. Gracias

1)integral (ln(x^2+1)) dx

2)integral ((sen(x))^3)/((cos(x))^2) dx

3)integral tg(x)^3 dx

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  • hace 10 años
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    1)∫ ln(x²+1) dx

    Integramos por partes.Recordemos la formulita:

    ∫ f '.g = f.g - ∫f.g'

    Tomemos:

    f '(x)=1 ==> f(x)=x

    g(x) = ln(x²+1) ===> g'(x)= 2x/(x²+1)

    ∫ln(x²+1)dx=x.ln(x²+1) -∫2x³/(x²+1)dx

    Ahora dividimos los polinomios del 2º miembro:

    ∫ln(x²+1)dx= x.ln(x²+1) - ∫(2x-2x/(x²+1))dx

    ∫ln(x²+1)dx= x.ln(x²+1)-2∫xdx+∫2x/(x²+1) ==> la 1º se resuelve directamente y la 2º mediante la sustitución t=x²+1. Queda:

    ∫ln(x²+1)dx= xln(x²+1)-x²+ln(x²+1)+K= (x+1).ln(x²+1) - x²+K

    .......................................................===============

    2)∫sen³x/cos²x dx =∫ senx(sen²x/cos²x)dx=

    =∫senx((1-cos²x)/cos²x)dx=∫senx(1/cos²x -1)dx=

    =∫senx/cos²x dx -∫senx dx=

    =∫tgx.secx dx - ∫senx dx =secx+cosx+K

    ......................................===========

    3)∫tg³x dx=∫tgx.tg²x dx=∫ tgx(sen²x/cos²x) dx=

    =∫tgx((1-cos²x)/cos²x)dx=∫tgx(sec²x-1)dx=

    =∫tgx.sec²xdx - ∫tgxdx =∫tgx.sec²x dx -∫senx/cosx dx=

    t=cosx ==> dt= -senx dx

    ∫tgx.sec²x + ∫dt/t = tgx +ln ItI +k=

    =tgx + ln IcosxI +K

    ===============

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