¿Ayuda integrales.Proceso?

Necesito ayuda con estas integrales, necesitaría saber el proceso y si son por partes o sustitución.

1)integral arcotg( x^-1/2) dx

2)integral (x^3+1)/(x^2+x+1) dx

3)integral 1/(1+(sen(x))^2) dx

1 respuesta

Calificación
  • Respuesta favorita

    ∫ arcotg( x^-1/2) dx

    u = arcotg(x^(-1/2))...........................dv = dx

    du = -1/2x^(-3/2)dx / [(x^(-1) + 1] ............v = x

    du = ........-dx

    .........--------------

    ..........2√x (x+1)

    ∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) - ∫ -√xdx / [2(x+1)]

    ∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) + 1/2 ∫ √xdx / (x+1)

    Resolvemos esto:

    ∫ √xdx / (x+1)

    sustitución trigonométrica:

    x^(1/2) = tan ⊖

    dx/(2√x) = sec^2 ⊖ d⊖

    dx = 2tan⊖ sec^2 ⊖ d⊖

    sec ⊖ = √(x+1)

    sec^2 ⊖ = x + 1

    ∫ √xdx / (x+1) = ∫ 2tan^2 ⊖ sec^2 ⊖ d⊖ / sec^2 ⊖ = 2 ∫ tan^2 ⊖ d⊖ = 2 ∫ (sec^2 ⊖ - 1) d⊖

    ∫ √xdx / (x+1) = 2tan⊖ - 2⊖ = 2√x - 2arctan(√x)

    Ahora sustituimos arriba:

    ∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) + 1/2 (2√x - 2arctan(√x)) + c

    ∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) + √x - arctan(√x) + c

    ____________________________________________

    ∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx

    Al realizar división larga queda:

    ∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = ∫ [x - 1 + 1/(x^2+x+1)] dx

    ∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = x^2 / 2 - x + ∫ 1/[(x^2+x+1)] dx

    Resolvamos la integral por aparte:

    ∫ 1/(x^2+x+1)] dx = ∫ 1/[(x^2+x+1/4+3/4)] dx

    ∫ 1/(x^2+x+1)] dx = ∫ dx/[(x^2+x+1/4)+3/4]

    ∫ 1/(x^2+x+1)] dx = ∫ dx/[(x+1/2)^2+3/4]

    ∫ 1/(x^2+x+1)] dx = 2arctan[2(x+1/2)/√3] / √3

    Sustituimos en:

    ∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = x^2 / 2 - x + ∫ 1/[(x^2+x+1)] dx

    ∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = x^2 / 2 - x + 2arctan[2(x+1/2)/√3] / √3 + c

    ______________________________________________

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx

    Multiplicas por el conjugado del denominador:

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ (1-sen^2 x)dx/(1+sen^2 x)(1-sen^2 x)

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ (1-sen^2 x)dx/(1-sen^4 x)

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ cos^2 x dx/(1-sen^4 x)

    u = sen x

    du = cos x dx

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ u^2 du/(1-u^4)

    Por fracciones parciales quedaría:

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = -1/2 ∫ du / (u^2+1) + 1/4 ∫ du / (u+1) - 1/4 ∫ du / (u-1)

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = -1/2 arctan (u) + 1/4 ln|u+1| - 1/4 ln|u-1| + c

    Regresando a la variable original:

    ∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = -1/2 arctan (sen x) + 1/4 ln|sen x+1| - 1/4 ln|sen x-1| + c

¿Aún tienes preguntas? Pregunta ahora y obtén respuestas.