¿Ayuda integrales.Proceso?

Question

Necesito ayuda con estas integrales, necesitaría saber el proceso y si son por partes o sustitución.

1)integral arcotg( x^-1/2) dx

2)integral (x^3+1)/(x^2+x+1) dx

3)integral 1/(1+(sen(x))^2) dx

Answer 1

Respuesta favorita

∫ arcotg( x^-1/2) dx

u = arcotg(x^(-1/2))...........................dv = dx

du = -1/2x^(-3/2)dx / [(x^(-1) + 1] ............v = x

du = ........-dx

.........--------------

..........2√x (x+1)

∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) - ∫ -√xdx / [2(x+1)]

∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) + 1/2 ∫ √xdx / (x+1)

Resolvemos esto:

∫ √xdx / (x+1)

sustitución trigonométrica:

x^(1/2) = tan ⊖

dx/(2√x) = sec^2 ⊖ d⊖

dx = 2tan⊖ sec^2 ⊖ d⊖

sec ⊖ = √(x+1)

sec^2 ⊖ = x + 1

∫ √xdx / (x+1) = ∫ 2tan^2 ⊖ sec^2 ⊖ d⊖ / sec^2 ⊖ = 2 ∫ tan^2 ⊖ d⊖ = 2 ∫ (sec^2 ⊖ - 1) d⊖

∫ √xdx / (x+1) = 2tan⊖ - 2⊖ = 2√x - 2arctan(√x)

Ahora sustituimos arriba:

∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) + 1/2 (2√x - 2arctan(√x)) + c

∫ arcotg( x^-1/2) dx = x*arctan(x^(-1/2)) + √x - arctan(√x) + c

____________________________________________

∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx

Al realizar división larga queda:

∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = ∫ [x - 1 + 1/(x^2+x+1)] dx

∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = x^2 / 2 - x + ∫ 1/[(x^2+x+1)] dx

Resolvamos la integral por aparte:

∫ 1/(x^2+x+1)] dx = ∫ 1/[(x^2+x+1/4+3/4)] dx

∫ 1/(x^2+x+1)] dx = ∫ dx/[(x^2+x+1/4)+3/4]

∫ 1/(x^2+x+1)] dx = ∫ dx/[(x+1/2)^2+3/4]

∫ 1/(x^2+x+1)] dx = 2arctan[2(x+1/2)/√3] / √3

Sustituimos en:

∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = x^2 / 2 - x + ∫ 1/[(x^2+x+1)] dx

∫ (x^3+1)/(x^2+x+1) dx = x^2 / 2 - x + 2arctan[2(x+1/2)/√3] / √3 + c

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∫ 1/(1+(sen^2 x) dx

Multiplicas por el conjugado del denominador:

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ (1-sen^2 x)dx/(1+sen^2 x)(1-sen^2 x)

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ (1-sen^2 x)dx/(1-sen^4 x)

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ cos^2 x dx/(1-sen^4 x)

u = sen x

du = cos x dx

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = ∫ u^2 du/(1-u^4)

Por fracciones parciales quedaría:

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = -1/2 ∫ du / (u^2+1) + 1/4 ∫ du / (u+1) - 1/4 ∫ du / (u-1)

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = -1/2 arctan (u) + 1/4 ln|u+1| - 1/4 ln|u-1| + c

Regresando a la variable original:

∫ 1/(1+(sen^2 x) dx = -1/2 arctan (sen x) + 1/4 ln|sen x+1| - 1/4 ln|sen x-1| + c