¿Como se si un conjunto de vectores forman un sistema generador ?

Ayuda es que en los ejercicios que tengo corregidos no realizan ninguna operación pero saben fácilmente si es o no es sg

3 respuestas

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  • Anónimo
    hace 9 años
    Respuesta favorita

    Depende donde estén.

    Si están en un espacio euclideano calcula el determinante

    ejemplo

    (2,3)

    y

    (4,5)

    haces una matriz

    |2 3|

    |4 5|

    y sacas su determinante

    10-12=-2

    si es diferente de cero quiere decir que si generan |R^2

    y así con otras dimenciones

  • hace 9 años

    todo conjunto de vectores son un sistema generador. Generan un espacio particular pero es un espacio al fin.

    El tema en cuestión es que espacio o subespacio quieres generar y si dicho conjunto sirve para hacerlo.

    digamoslo así:

    si quiero generar el espacio, necesito un conjunto de tres vectores de tres componentes que sea linealmente independientes para poder generarlo.

    Si el conjunto tuviera mas de tres vectores también puede ser un sistema de generadores y solo es necesario que tres de ellos sean LI.

    Basicamente debes verificar que se cumpla que una combinación lineal de los vectores de dicho conjunto puedan generar a cualquier vector del espacio en cuestión.

    ejemplo:

    sean

    v(1, 0, 7) y w (3,0, 2) verificar si generan el espacio plano XZ

    pregunto entonces

    a * v + b * w tiene la forma (x, 0 , z) para todo a y b?

    resuelvo

    (a, 0, 7a) + (3b, 0, 2b) = (a + 3b, 0, 7a + 2b)

    esto efectivamente tiene la forma (x, 0, z)

    falta probar ahora que los vectores sean LI ya que un plano tiene dimensión 2 y tengo 2 vectores. (si en este caso tuviera tres vectores sería suficiente que pruebe que dos son LI debido a la dimensión del espacio buscado)

    entonces resuelves

    c * v + d * w = (0, 0, 0)

    si el sistema tiene solución única, los vectores son LI y efectivamente serán generadores del espacio en cuestión

  • Genkit
    Lv 4
    hace 9 años

    creo que tenia que ser una base... estas con espacios vectoriales..., mirate la teoria,

    creo uqe una base que tiene un conjunto de vectores linealmente independientes son un sistema generador de un espacio vectorial

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