¿Halla las coordenadas de los puntos de la recta r: x+3y-23=0 que se encuentran a 5 unidades del punto P(2,2)?

Por favor ayuda D:

Mi libro es un completo desastre y no me lo explica.

2 respuestas

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  • hace 8 años
    Respuesta favorita

    Apreciada amiga, para resolver este problema se determina la ecuación de la circunferencia con centro en el punto P(2,2) y radio 5 unidades, procediéndose a intersectarla con la recta r. Los puntos de intersección, serán los puntos solicitados en el enunciado.

    Procedamos primero a definir la ecuación de la circunferencia:

    (x - 2)² + (y - 2)² = 5² ⇒

    (x - 2)² + (y - 2)² = 25     → CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN (2,2) Y RADIO 5

    ahora intersectamos la recta r con la circunferencia anterior:

    (x - 2)² + (y - 2)² = 25

    x + 3y - 23 = 0

    despejamos x de la ecuación de la recta:

    x = 23 - 3y

    sustituimos el despeje anterior en la ecuación de la circunferencia:

    (x - 2)² + (y - 2)² = 25 ⇒

    (23 - 3y - 2)² + (y - 2)² = 25 ⇒

    (21 - 3y)² + (y - 2)² = 25

    desarrollamos los binomios al cuadrado:

    441 - 126y + 9y² + y² - 4y + 4 = 25 ⇒

    10y² - 130y + 445 - 25 = 0 ⇒

    10y² - 130y + 420 = 0

    dividimos todo entre 10:

    y² - 13y + 42 = 0

    factorizamos:

    (y - 6)(y - 7) = 0

    por lo tanto, las soluciones para la variable y son:

    y₁ = 6

    y₂ = 7

    hallamos las respectivas soluciones para la variable x, sustituyendo los valores antes obtenidos en la ecuación de la recta. Empezamos con x₁:

    x + 3y - 23 = 0 ⇒

    x₁ + 3y₁ - 23 = 0 ⇒

    x₁ + 3(6) - 23 = 0 ⇒

    x₁ + 18 - 23 = 0 ⇒

    x₁ - 5 = 0 ⇒

    x₁ = 5

    ahora hallamos x₂:

    x + 3y - 23 = 0 ⇒

    x₂ + 3y₂ - 23 = 0 ⇒

    x₂ + 3(7) - 23 = 0 ⇒

    x₂ + 21 - 23 = 0 ⇒

    x₂ - 2 = 0 ⇒

    x₂ = 2

    entonces, los puntos de intersección son:

    A(x₁,y₁) = A(5,6)

    B(x₂,y₂) = B(2,7)

    en el siguiente link, la solución graficada con el programa GeoGebra (por favor aumenta el zoom):

    http://www.subirimagenes.net/pictures/21fd3e70e205...

    Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!

  • Fidel
    Lv 6
    hace 8 años

    El punto (x,y) que buscas sobre la recta tiene coordenadas (23-3y,y).

    La distancia d² de este punto al punto (2,2) seria:

    d²=5²=25=(2-23+3y)²+(2-y)²,

    (3y-21)²+(y-2)²=25,

    9y²-126y+441+y²-4y+4-25=0,

    10y²-130y+420=0,

    y²-13y+42=0,

    (y-7)(y-6)=0.

    De aqui que y=6 o y=7. Entonces,

    x=23-3(6)=5 o x=23-3(7)=2.

    Las coordenadas de los puntos buscados son

    (5,6) y (2,7).

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