¿Alguien sabe como hacer la integral de dx/1+(cosx)^2 ?

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  • hace 8 años
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    Bien, tienes

    dx/1+(cosx)^2

    Todo lo multiplicarás por (secx)^2 arriba y abajo, entonces te quedará:

    dx (secx)^2 --------------------> (secx)^2 dx

    ------------- * --------------- = ----> --------------

    1+(cosx)^2 (secx)^2 --------> 1 + (secx)^2

    Recordemos la propiedad. 1 + (tanx)^2 = (secx)^2

    Sustituimos la secante por eso para que nos quede lo siguiente:

    (secx)^2 dx ----> (secx)^2 dx

    -------------- = ----> -----------------------

    1 + (secx)^2 ----> 2 + (tanx)^2

    Podemos hacer esta integral por cambio de variable, proponiendo que u= tanx du= (secx)^2dx

    Entonces queda la integral de:

    (secx)^2 dx -----------------> du

    ------------------- = ----> -------------------

    2 + (tanx)^2 ------- ----> 2 + u^2

    Esa integral la debemos hacer por fórmula trigonométrica, la cual es directa y sencilla de hacer, viene en cualquier formulario que dice:

    du - ----------------> 1 Arctan (u/a)

    --------------- = ----> -----

    a^2 + u^2 ------------> a

    du ----> 1

    ------------------- = ----> --------- arctan(u/sqrt2) + C

    2 + u^2 ----> sqrt(2)

    a= sqrt(2)

    u= u

    du= du

    Ya tenemos prácticamente todo para resolver esta integral, solo falta sustituir esa u, pero quien es esa u?? Pues claro la que habiamos dejado como u = tanx

    Sustituyendo, la respuesta final es:

    1

    ---- Arctan( tanx/sqrt2) + c

    sqrt(2)

    SQRT significa raíz cuadrada!

    SALUDOS!

    Respuesta confirmada por Wolfram Alpha!

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