¿ejercicio de sub espacio vectoria?

. Se consideran los subconjuntos de F(R,R)

U = {f ∈ F(R,R) : f(−x) = f(x), ∀x ∈ R},

U = {g ∈ F(R,R) : g(−x) = −g(x), ∀x ∈ R}.

Demostrar que U y U son subespacios vectoriales de F(R,R)

por fa necesito que me ayuden tengo prueba mañana

1 respuesta

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  • hace 6 años
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    Aquí definitivamente hubo un error de notación, llamaste de la misma manera a dos conjuntos que evidentemente son distintos, a saber, los denominaste con la letra U, así que me tomaré la libertad de renombrarlos.

    Sean U, V ⊆ F(ℝ,ℝ) donde

    U = {f ∈ F(ℝ,ℝ) : f(−x) = f(x), ∀x ∈ ℝ} y

    V = {g ∈ F(ℝ,ℝ) : g(−x) = −g(x), ∀x ∈ ℝ}.

    Demostrar que U y V son subespacios vectoreales de F(ℝ,ℝ).

    Demostración:

    Como sabrás, el conjunto F(ℝ,ℝ) es un espacio vectorial definido sobre un campo de escalares C (que en este caso resulta ser C=ℝ). Para demostrar que un subconjunto W de F(ℝ,ℝ) es un subespacio vectorial de dicho conjunto basta demostrar cuatro cosas:

    1.- p + q ∈ W siempre y cuando p ∈ W y q ∈W.

    2.- αp ∈ W siempre que p ∈ W y α ∈ ℝ.

    3.- El vector cero pertenece a W.

    4.- Si p ∈ W entonces -p ∈ W.

    Hagamos la demostración para W = U.

    Sean p, q ∈ V, α ∈ C y sea x ∈ ℝ arbitrario. Entonces

    p(-x) = p(x),

    q(-x) = q(x)

    Sumamos miembro a miembro:

    p(-x) + q(-x) = p(x) + q(x)

    pero, por la definición de suma de funciones

    p(-x) + q(-x) = (p + q)(-x), y

    p(x) + q(x) = (p + q)(x)

    así que

    (p + q)(-x) = (p + q)(x)

    por lo tanto, (p + q) ∈ U ya que cumple con la definición de U. Así hemos demostrado 1.

    Ahora calculemos αp:

    αp(-x) = α(p(-x)) = α(p(x)) = αp(x)

    por lo tanto αp ∈ U. Esto demuestra 2.

    Sabemos que la función cero, que denotaré como Z, está definida así:

    Z(x) = 0 para todo x ∈ ℝ.

    Vemos entonces que

    Z(-x) = 0 = Z(-x)

    por lo tanto Z ∈ U, y hemos demostrado 3.

    Ojo aquí: estamos demostrando que el vector cero está dentro del conjunto U. No debes confundir el vector cero con el número cero ya que son dos cosas distintas. El vector cero, en este caso, es la función de ℝ en ℝ que asocia a todo x con el número cero.

    Para demostrar 4 debemos tomar en cuenta la definición de -p, es decir

    -p(x) := -(p(x)).

    Entonces

    p(-x) = -p(x)

    y trivialmente hemos demostrado que -p ∈ U, y habiendo demostrado estas cuatro propiedades de U hemos demostrado que U es un subespacio vectorial de F(ℝ,ℝ).

    Para demostrar que V es un subespacio vectorial de F(ℝ,ℝ) debes hacer el mismo procedimiento anterior, sólo que tomando en cuenta que esta vez usarás la definición de V que establece que para p ∈ V se cumple que p(-x) = -p(x). No es nada difícil, así que te lo dejo como ejercicio (uno muy sencillo).

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