¿Conjunto generador algebra?

Bueno, creo que es una duda sencilla.... La verdad, no se como hacer los ejercicios de conjunto generador...

Me dan un espacio vectorial (V = R^2) y me preguntan si el siguiente conjunto:

(0, 0); (1, 1); (-2, 2)

genera V....

¿Me podrian guiár para hacer este ejercicio? No es que quiera que me hagan los deberés es que realmente me gustaría entender como se hace el ejercicio, para yo mismo hacer el resto...

Ante todo muchas gracias.

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  • Conjunto generador de un grupo

    En teoría de grupos, unconjunto generador de un grupoGes un subconjuntoSdeGtal que todo elemento deGpuede ser expresado como el producto de un número finito de elementos deSy de sus inversos.

    Más generalmente, siS⊆G, <S> es el mínimo subgrupodeGque contiene aS, llamadosubgrupo generado por S; equivalentemente, <S> es el subgrupo deGconformado por todos los elementos que pueden ser expresados como el producto de un número finito de elementos deSy de sus inversos.

    SiG= <S>, se dice queS genera a G, y los elementos deSse llamangeneradoresdeG. SiS= ∅, entonces <S> es el grupo trivial {e} (lo cual concuerda con la primera definición del subgrupo generado), puesto que el resultado de un producto vacío se define como el elemento neutro.

    SiS= {x}, <S> es el subgrupo conformado por las potencias dex, el cual es un grupo cíclico(más precisamente, unsubgrupo cíclicodeG), usualmente denotado por <x>; se dice que este grupo esgenerado por x. Decir quexgenera el grupoGes equivalente a decir que <x> =G, caso en el cualGmismo sería un grupo cíclico; siGtiene tamaño finito, cualquiera de esas dos condiciones es equivalente a quextenga orden |G|.

    Grupos finitamente generados

    Si el conjuntoSes finito, un grupoG= <S> se dicefinitamente generado. La estructura de los grupos abelianosfinitamente generados es particularmente fácil de describir. Muchos de los teoremas que son ciertos para grupos finitamente generados fallan en general para los otros grupos.

    Todo grupo finito es finitamente generado, puesG= <G>. Por el contrario, el grupoZde enterosbajo la adición es un ejemplo de un grupo infinito que es finitamente generado, bien sea por <1>, bien sea por <−1> (con lo cual es también cíclico). El grupoQde números racionalesbajo la adición tiene la misma cardinalidaddeZ, pero no puede ser finitamente generado. Ningún grupo incontable (esto es, de cardinalidad estrictamente mayor que la deZ) puede ser finitamente generado.

    Un mismo grupo puede tener varios conjuntos generadores diferentes. Por ejemplo, sipyqson enteros primos entre sí, entonces <{p,q}> genera también aZ.

    Todo grupo cocientede un grupo finitamente generado es, a su vez, finitamente generado; en cambio, un subgrupode un grupo finitamente generado puede no serlo. Por ejemplo, siGes el grupo libre en dos generadores,xey, es claro queGes finitamente generado; sin embargo, siSes el conjunto conformado por todos los elementos de la formaynxy−n, dondenes un número natural, es claro que <S> es isomorfo al grupo libre en contables generadores, con lo cual no puede ser finitamente generado. Para grupos abelianos, sin embargo, vale que todo subgrupo de un grupo finitamente generado es también finitamente generado.

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