MANY realizada en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 4 años

¿y"+4y=sen^3(x) . Alguien que me ayude me trabe con esta diferencial?

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  • hace 4 años

    y"+4y = sen³(x)

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    Resolución general:

    y''+ay'+by= f(x)

    La solución general es y = y₀ + Y

    De donde sale y₀

    que es solución de y''+ay'+by= 0

    Se resuelve k²+ak+b = 0

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    y"+4y = 0 → k²+4 = 0 ⇔ k² = -4 ⇔ k = ±√(-4) ⇔ k = ±2i

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    Raíces complejas k₁ = α+iß e k₂ = α-iß ( ß ≠ 0 )

    y₀ = e^(αx)*(C₁cos(ßx)+C₂sen(ßx))

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    y₀ = C₁ cos(2x)+C₂ sen(2x)

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    f(x) = sen³(x)

    Por formulas trigonométricas: sen³(x) = 1/4[3 sen(x) - sen(3x)]

    Así se evita el exponente.

    Suponemos:

    Y = A sen(x) + B sen(3x)

    Y' = A cos(x) + 3B cos(3x)

    Y'' = -A sen(x) - 9B sen(3x)

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    Sustituimos en: y"+4y = sen³(x),

    o sea en: y"+4y = 1/4[3 sen(x) - sen(3x)]

    [-A sen(x) - 9B sen(3x)] + 4[A sen(x) + B sen(3x)] = 1/4[3 sen(x) - sen(3x)] ⇔

    -A sen(x) - 9B sen(3x) + 4A sen(x) + 4B sen(3x) = 1/4[3 sen(x) - sen(3x)] ⇔

    -A sen(x) + 4A sen(x) - 9B sen(3x) + 4B sen(3x) = 3/4 sen(x) - 1/4 sen(3x) ⇔

    3A sen(x) - 5B sen(3x) = 3/4 sen(x) - 1/4 sen(3x)]

    Entonces:

    3A = 3/4

    -5B=-1/4

    A = 1/4

    B=1/20

    Y = 1/4 sen(x) + 1/20 sen(3x)

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    Solución general de: y"+4y = sen³(x), es

    y = C₁ cos(2x)+C₂ sen(2x) + 1/4 sen(x) + 1/20 sen(3x)

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