¿Ayuda con este ejercicio de integrales?

Question

¿como se resolvería esta integral?

la necesito con todo el proceso

∫ tag^3 X dx

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ayuda por favor

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Hola,

∫ tan³x dx =

escribamos tanx en términos de senx, cosx:

∫ (senx /cosx)³ dx =

∫ (sen³x /cos³x) dx =

partamos el numerador como:

∫ (sen²x /cos³x) senx dx =

apliquemos la identidad sen²x = 1 - cos²x:

∫ [(1 - cos²x) /cos³x] senx dx =

distribuyamos y simplifiquemos:

∫ [(1 /cos³x) - (cos²x /cos³x)] senx dx =

∫ [(1 /cos³x) - (1 /cosx)] senx dx =

pongamos:

cosx = u

diferenciemos ambos miembros:

d(cosx) = du

- senx dx = du

senx dx = - du

obteniendo, por sustitución:

∫ [(1 /cos³x) - (1 /cosx)] senx dx = ∫ [(1 /u³) - (1 /u)] (- du) =

∫ {- [(1 /u³) - (1 /u)]} du =

∫ [- (1 /u³) + (1 /u)] du =

(partiendo en dos integrales)

- ∫ u‾ ³ du + ∫ (1 /u) du =

- [1/(- 3+1)] u‾ ³ ⁺ ¹ + ln | u | + C =

- [1/(- 2)] u‾ ² + ln | u | + C =

(1/2)(1/u²) + ln | u | + C =

[1 /(2u²)] + ln | u | + C

sustituyamos nuevamente cosx a u, concluyendo con:

[1 /(2cos²x)] + ln |cosx| + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!