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¿Tengo estas 2 demostraciones como tarea, he avanzado un poco al respecto pero no logro darles solución por completo.?

1. Si x>0 demuestre que existen exactamente 2 números reales, tale que y^2 = x

2. Si x>0 entonces x + (1/x) >= 2

1 respuesta

Calificación
  • Melkor
    Lv 4
    hace 8 meses

    Parte 1:

    Sabemos que una de las soluciones es y = √x

    Sea w cualquier otra solución, entonces:

    0 = y^2 - y^2 = x - w^2 = (√x - w) * (√x + w)

    Cuando un producto da cero, entonces por lo menos uno de los factores debe ser cero, entonces:

    √x - w = 0 o √x + w = 0

    Por lo tanto w puede tomar únicamente dos valores que son +√x y -√x

    Parte 2:

    ¿Cuánto debe valer x (si es positivo) para que x + 1/x sea mayor o igual a 2?

    x + 1/x >= 2

    x + 1/x - 2 >= 0

    x^2 - 2x + 1 >=0     (si x fuese negativo, se daría vuelta el signo)

    Observar que x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2, entonces:

    (x - 1)^2 >=0, lo cual se cumple siempre

    Por lo tanto x puede tomar cualquier valor positivo.

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