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¿Si A = {U; V; W} ⊂ R^(n) es un conjunto de vectores linealmente independientes entonces A' = {2U; V+W; U-W} es un conjunto de vectores L.I.?

Es verdadera la afirmación. Justificarla

Rta: Verdadero

L.I. es linealmente independiente

1 respuesta

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  • hace 2 meses
    Respuesta favorita

    Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por lo que la siguiente expresión:

    a₁U₁+a₂U₂+a₃U₃+ . . . +a₏U₏= 0, con a₁ =0, a₂ =0, a₃ =0, . . . ,a₏=0

    Ningún “asub i” puede ser distinto de 0

    **************************************

    En este caso:

     a₁U+a₂V+a₃W = 0, con a₁ =0, a₂ =0, a₃ =0

    Hay que probar que:

     a₁2U+a₂(V+W)+a₃(U-W) = 0, con a₁ =0, a₂ =0, a₃ =0

    **************************************

    Considero el sistema

     a₁u₁+a₂v₁+a₃w₁ = 0

    a₁u₂+a₂v₂+a₃w₂ = 0

    a₁u₃+a₂v₃+a₃w₃ = 0

    .

    .

    .

    a₁u₏+a₂v₏+a₃w₏ = 0; sabemos que: a₁ =0, a₂ =0, a₃ =0, por ser LI

    Consideramos la matriz principal 

    ( u₁ v₁ w₁ ) 

    ( u₂ v₂ w₂ )

    ( u₃ v₃ w₃ ) 

    .

    .

    .

    ( u₏ v₏ w₏ )

     Para que el sistema tenga solamente la solución trivial, tiene que haber un menor complementario de orden tres distinto de cero.

     Si no lo hubiera el sistema daría otras soluciones distinta de 0 para a₁, a₂, a₃ y los vectores serían LD 

    Supongamos que el menor de orden 3 distinto de 0 es:

    ( uₐ vₐ wₐ ) 

    ( uᵢ vᵢ wᵢ )

    ( uᵣ vᵣ wᵣ ) El determinante da λ≠0

    La primera columna por 2, y dejo el resultado en la primera columna.

    A la segunda columna le suma la primera columna, y dejo el resultado en la segunda columna.

    A la tercera columna por -1, le sumo la primera columna y dejo el resultado en la tercera columna.

    El determinante de esta matriz da: -2 λ que es ≠0 

    ( 2uₐ (uₐ+vₐ) (uₐ-wₐ) ) 

    ( 2uᵢ (uᵢ+vᵢ) (uᵢ-wᵢ) )

    ( 2uᵣ (vᵣ +vᵣ) (uᵣ- wᵣ) ) ##############

    ***************************

     a₁2U+a₂(V+W)+a₃(U-W) = 0, ¿ con a₁ =0, a₂ =0, a₃ =0 ??? Hay que probar que solamente tiene la solución trivial.

    Considero el sistema

     a₁2u₁+a₂(v₁+w₁)+a₃(u₁-w₁)= 0

    a₁2u₂+a₂(v₂+w₂)+a₃(u₂-w₂) = 0

    a₁2u₃+a₂(v₃+w₂)+a₃(u₃-w₃) = 0

    .

    .

    .

    a₁2u₏+a₂(v₏+w₏)+a₃(u₏-w₏) = 0

    Consideramos la matriz principal 

    ( 2u₁ (v₁+w₁) (u₁-w₁) )

    ( 2u₂ (v₂+w₂) (u₂-w₂) )

    ( 2u₃ (v₃+w₂) (u₃-w₃) )

    .

    .

    .

    ( 2u₏ (v₏+w₏) (u₏-w₏) )

    Para que sea linealmente independiente tiene que haber un menor de orden 3 distinto de 0. Que esta formado por las filas a,i, r . ################

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