¿Dado un vertice de un rectangulo, hallar los demas vertices?

Rectangulo de centro del origen de coordenadas y uno de sus vertices se corresponde con el numero complejo 3 + 3i.

Encontrar los demás vertices

1 respuesta

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  • Manu
    Lv 7
    hace 2 meses
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    No hay datos suficientes para dar una respuesta única, porque el rectángulo puede estar girado. Es más, debe estarlo, pues de lo contrario no sería un rectángulo sino un cuadrado. Solo podemos estar seguros del vértice que se opone a 3 + 3i respecto del centro (es decir, con simetría central).

    Dicho vértice opuesto es el -3 - 3i.

    Los otros dos vértices deben cumplir que se encuentran a la misma distancia del centro que los puntos ya conocidos y que son ambos opuestos por el centro.

    Para encontrarlos voy a suponer un sistema con ejes cartesianos "x" e "y". Ambos vértices, por estar a la misma distancia del centro que el punto A(3 , 3), estarán en una circunferencia de ecuación:

    x² + y² = 18

    Cualquier punto de esa circunferencia puede ser un vértice de nuestro rectángulo. El otro vértice será su opuesto.

    Para caracterizarlo mejor voy a dejar ambos vértices en función de un único parámetro: la pendiente de la recta en la que se encuentran.

    Por ser una recta que pasa por el origen:

    y = mx

    Juntándolo con la condición de la circunferencia:

    x² + (mx)² = 18

    => x² + m²x² = 18

    => x²(1 + m²) = 18

    => x² = 18 / (1 + m²)

    => x = ±√(18 / (1 + m²) )

    El doble signo se refiere, obviamente, a ambos vértices opuestos.

    En resumen, los tres vértices que buscas, en función del parámetro "m", son los siguientes:

    -3 -3i

    √(18 / (1 + m²) )  + m√(18 / (1 + m²) ) i

    -√(18 / (1 + m²) ) - m√(18 / (1 + m²) ) i

    Para cualquier "m" distinto de 1 y de -1, pues en el primer caso daría lugar a un segmento y en el segundo a un cuadrado, y ninguno de ellos es un rectángulo propiamente dicho, como nos pide el enunciado.

    La pega de elegir ese parámetro es que en torno a infinito nos dará resultados indeterminados, cuando en la realidad los vértices estarían perfectamente definidos. Me refiero a que los dos vértices que faltan sean imaginarios puros o estén próximos a serlo.

    Saludos.

    PD: Veo en algunos sitios que al cuadrado se le considera un rectángulo de lados iguales. Si aceptamos eso entonces el cuadrado es válido como rectángulo. Pero me sigue pareciendo sospechoso que elijan en el enunciado la palabra "rectángulo" y que pongan un vértice que da lugar a un cuadrado si suponemos simetrías axiales. Por eso sigo pensando que la indeterminación del resultado no se debe a una omisión involuntaria del que escribió el enunciado, sino que se buscaba adrede.

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