Anónimo
Anónimo realizada en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 3 semanas

¿En el siguiente ejercicio, determinar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor del eje dado?

x = 5 Cos θ,          y = 5 Sen θ;          0 ≤ θ ≤ π/2;       Eje y

2 respuestas

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  • hace 3 semanas
    Respuesta favorita

    x(θ) = 5*cos(θ)

    y(θ) = 5*sen(θ)

    con 0 ≤ θ ≤ π/2

    Eje y

     

    *********************************

    El área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor del eje "y" es:

    π/2

     ∫ 2π * x(θ) * √[ ( x'(θ) )² + ( y'(θ) )² ] dθ =

    0

    π/2

     ∫ 2π*5*cos(θ) √[ ( -5*sen(θ) )² + ( 5*cos(θ) )² ] dθ =

    0

    π/2

     ∫ 10π*cos(θ) √[ 25*( sen²(θ) + cos²(θ) ) ] dθ =

    0

    π/2

     ∫ 10π*cos(θ) √[ 25*1 ] dθ =

    0

    π/2

     ∫ 10π*cos(θ)*5 dθ =

    0

    π/2

     ∫ 50π*cos(θ) dθ =

    0

    . . . . . . . . . π/2

    50π*sen(θ) [ = 50π*sen(π/2) - 50π*sen(0) = 50π*1 = 50π ≈ 157,07963 ...

    . . . . . . . . . 0

  • Anónimo
    hace 3 semanas

    El área de la superficie generada por girar la curva paramétrica definida por x = x(θ), y = y(θ), a ≤ θ ≤ b alrededor del eje "y" es dada por:

        b

    S = 2π ∫ x(θ) ds

        a

    Donde ds = √[(dx/dθ)² + (dy/dθ)²] dθ y x(θ) no es negativo en el intervalo a ≤ θ ≤ b.

    En este caso, el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2 corresponde al primer cuadrante, por lo que x(θ) > 0 y y(θ) > 0 en ese intervalo.

    x = 5 cos(θ)

    dx/dθ = -5 sen(θ)

    y = 5 sen(θ)

    dy/dθ = 5 cos(θ)

    ds = √[(-5 sen(θ))² + (5 cos(θ))²] dθ 

    ds = √[(25 sen²(θ) + 25 cos²(θ)] dθ

    ds = √25 √[sen²(θ) + cos²(θ)] dθ

    ds = 5 dθ

    La área de superficie de revolución es:

       π/2

    S = 2π ∫ [5 cos(θ) * 5] dθ

        0

         π/2

    S = 50π ∫ cos(θ) dθ

          0

           π/2

    S = 50π [sen(θ)] | 

             0

    S = 50π [sen(π/2) - sen(0)]

    S = 50π u² 

    S ≈ 157,08 u²

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