¿hola, me podrían explicar como puedo empezar a solucionar este ejercicio mediante la transformada de Laplace?

Question

Answer 1

Hola Jean, esta es una ecuación integral en términos de f(t), para solucionar el problema toma la transformada a ambos lados de la expresión y debes notar que la integral que aparece al lado derecho es justo la definición de la convolución(denotada por el símbolo: *) de la exponencial((e^-t)) con f(t), esto es: (e^-t) * f, por último recuerda que la transformada de una convolución es el producto de las transformadas de las funciones y finalmente puedes despejar fácilmente la transformada de f(t). Una vez que tengas la transformada de f(t) despejada solo tienes que hallar la transformada de Laplace inversa y de esa manera obtienes la expresión  de la función f(t) que es justamente lo que querias hallar.

Realizando todo el procedimiento deberías obtener que la solcución a la ecuación integral es:

f(t) = cos(t) + sen(t).

Espero haberte ayudado. Saludos.

Answer 2

Sea:

      t

f(t) = cos(t) + ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ

      0

Primero aplica la transformada de Laplace en ambos lados:

           t

L{f(t)} = L{cos(t) + ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ}

        0

           t

L{f(t)} = L{cos(t)} + L{ ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ }

           0

Para la transformada de la integral de convolución:

t

∫ [f(t−τ) g(τ)] dτ = f * g

0

L{ f * g } = L{f(t)} L{g(t)} = F(s) G(s)

Donde la función f * g denota la convolución de las funciones f(t) y g(t), de transformadas F(s) y G(s), respectivamente.

En este caso:

t

∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ = e^(-t) * f(t)

0

∴

L{f(t)} = L{cos(t)} + L{e^(-t)} L{f(t)}

Resolviendo las transformadas de Laplace, la ecuación queda como:

F(s) = s/(s² + 1) + [1/(s + 1)] F(s)

Despejando para F(s) se obtiene:

F(s) = (s + 1)/(s² + 1)

Para obtener f(t) aplica la transformada inversa en ambos lados y resuelve:

f(t) = cos(t) + sen(t)