¿hola, me podrían explicar como puedo empezar a solucionar este ejercicio mediante la transformada de Laplace?

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2 respuestas

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  • hace 1 mes

    Hola Jean, esta es una ecuación integral en términos de f(t), para solucionar el problema toma la transformada a ambos lados de la expresión y debes notar que la integral que aparece al lado derecho es justo la definición de la convolución(denotada por el símbolo: *) de la exponencial((e^-t)) con f(t), esto es: (e^-t) * f, por último recuerda que la transformada de una convolución es el producto de las transformadas de las funciones y finalmente puedes despejar fácilmente la transformada de f(t). Una vez que tengas la transformada de f(t) despejada solo tienes que hallar la transformada de Laplace inversa y de esa manera obtienes la expresión  de la función f(t) que es justamente lo que querias hallar.

    Realizando todo el procedimiento deberías obtener que la solcución a la ecuación integral es:

    f(t) = cos(t) + sen(t).

    Espero haberte ayudado. Saludos.

  • Anónimo
    hace 1 mes

    Sea:

          t

    f(t) = cos(t) + ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ

          0

    Primero aplica la transformada de Laplace en ambos lados:

               t

    L{f(t)} = L{cos(t) + ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ}

            0

               t

    L{f(t)} = L{cos(t)} + L{ ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ }

               0

    Para la transformada de la integral de convolución:

    t

    ∫ [f(t−τ) g(τ)] dτ = f * g

    0

    L{ f * g } = L{f(t)} L{g(t)} = F(s) G(s)

    Donde la función f * g denota la convolución de las funciones f(t) y g(t), de transformadas F(s) y G(s), respectivamente.

    En este caso:

    t

    ∫ [e^(-τ) f(t - τ)] dτ = e^(-t) * f(t)

    0

    L{f(t)} = L{cos(t)} + L{e^(-t)} L{f(t)}

    Resolviendo las transformadas de Laplace, la ecuación queda como:

    F(s) = s/(s² + 1) + [1/(s + 1)] F(s)

    Despejando para F(s) se obtiene:

    F(s) = (s + 1)/(s² + 1)

    Para obtener f(t) aplica la transformada inversa en ambos lados y resuelve:

    f(t) = cos(t) + sen(t)

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